📘 LaTeX 语法
📐 1. LaTeX 数学模式
1.1. 行内数学模式
在文本中插入数学公式：
$E=mc^2$
$E=mc^2$ 行内模式的数学公式，适用于正文中的数学表达。
1.2. 独立数学模式
使数学公式独占一行：
$$E=mc^2$$
独立模式的数学公式，适用于单独一行的数学表达。
$$E=mc^2$$
1.3. 带编号公式
\begin{equation}
E=mc^2
\end{equation}
$$ \begin{equation} E=mc^2 \end{equation} $$
带有编号的数学公式，适用于论文或报告中公式引用。（Markdown中可能无法显示编号 ）
🔣 2. 保留字符
LaTeX 环境中具有特殊含义的保留字符，不能直接使用，必须通过指定的语法实现：
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| # | \# |
井号，数学环境中无特殊含义 |
| $ | \$ |
美元符号，通常用于货币符号 |
| % | \% |
百分号，表示百分比 |
| & | \& |
与符号，通常用于逻辑表达 |
| _ | \_ |
下划线，LaTeX 需要转义 |
| {} | \{ \} |
花括号，用于分组 |
| \ | \backslash |
反斜杠，LaTeX 转义符 |
🔠 3. 希腊字母
3.1. 小写希腊字母
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文音译 |
|---|---|---|
| $\alpha$ | \alpha |
阿尔法 |
| $\beta$ | \beta |
贝塔 |
| $\gamma$ | \gamma |
伽马 |
| $\delta$ | \delta |
德尔塔 |
| $\epsilon$ | \epsilon |
艾普西龙（普通 epsilon） |
| $\varepsilon$ | \varepsilon |
伪艾普西龙（变体 epsilon） |
| $\zeta$ | \zeta |
截塔 |
| $\eta$ | \eta |
伊塔 |
| $\theta$ | \theta |
西塔 |
| $\vartheta$ | \vartheta |
变体西塔 |
| $\iota$ | \iota |
约塔 |
| $\kappa$ | \kappa |
卡帕 |
| $\lambda$ | \lambda |
兰布达 |
| $\mu$ | \mu |
缪 |
| $\nu$ | \nu |
纽 |
| $\xi$ | \xi |
克西 |
| $\pi$ | \pi |
派（圆周率） |
| $\varpi$ | \varpi |
变体派 |
| $\rho$ | \rho |
罗 |
| $\varrho$ | \varrho |
变体罗 |
| $\sigma$ | \sigma |
西格玛 |
| $\varsigma$ | \varsigma |
终结西格玛（变体 sigma） |
| $\tau$ | \tau |
陶 |
| $\upsilon$ | \upsilon |
宇普西龙 |
| $\phi$ | \phi |
菲 |
| $\varphi$ | \varphi |
变体菲 |
| $\chi$ | \chi |
氚（发音接近“开”） |
| $\psi$ | \psi |
普赛 |
| $\omega$ | \omega |
欧米伽 |
3.2. 大写希腊字母
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文音译 |
|---|---|---|
| $\Gamma$ | \Gamma |
伽马（大写） |
| $\Delta$ | \Delta |
德尔塔（大写） |
| $\Theta$ | \Theta |
西塔（大写） |
| $\Lambda$ | \Lambda |
兰布达（大写） |
| $\Xi$ | \Xi |
克西（大写） |
| $\Pi$ | \Pi |
派（大写，数学常用于求和） |
| $\Sigma$ | \Sigma |
西格玛（大写，数学常用于求和） |
| $\Upsilon$ | \Upsilon |
宇普西龙（大写） |
| $\Phi$ | \Phi |
菲（大写） |
| $\Psi$ | \Psi |
普赛（大写） |
| $\Omega$ | \Omega |
欧米伽（大写，数学物理常用） |
➗ 4. 二元运算符
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $+$ | + |
加号 |
| $-$ | - |
减号 |
| $\times$ | \times |
乘号 |
| $\div$ | \div |
除号 |
| $\cdot$ | \cdot |
乘积点 |
| $\oplus$ | \oplus |
直和（用于向量空间、群论） |
| $\ominus$ | \ominus |
直差 |
| $\otimes$ | \otimes |
直积 |
| $\oslash$ | \oslash |
直除 |
| $\odot$ | \odot |
圆点乘法 |
| $\star$ | \star |
星乘法 |
| $\circ$ | \circ |
复合映射 |
| $\bullet$ | \bullet |
实心点（乘法或列表符号） |
| $\pm$ | \pm |
正负号 |
| $\mp$ | \mp |
负正号 |
| $\bigoplus$ | \bigoplus |
直和运算符（大运算符版本） |
| $\bigotimes$ | \bigotimes |
直积运算符（大运算符版本） |
| $\bigodot$ | \bigodot |
直乘运算符（大运算符版本） |
⚖️ 5. 二元关系符
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $=$ | = |
等于 |
| $\neq$ | \neq |
不等于 |
| $\approx$ | \approx |
约等于 |
| $\equiv$ | \equiv |
恒等于 |
| $<$ | < |
小于 |
| $>$ | > |
大于 |
| $\leq$ | \leq |
小于等于 |
| $\geq$ | \geq |
大于等于 |
| $\ll$ | \ll |
远小于 |
| $\gg$ | \gg |
远大于 |
| $\prec$ | \prec |
先于（偏序关系） |
| $\succ$ | \succ |
后于（偏序关系） |
| $\preceq$ | \preceq |
小于等于（偏序） |
| $\succeq$ | \succeq |
大于等于（偏序） |
| $\sim$ | \sim |
相似于 |
| $\nsim$ | \nsim |
不相似 |
| $\simeq$ | \simeq |
同构 |
| $\asymp$ | \asymp |
渐近等于 |
| $\propto$ | \propto |
成比例 |
🧠 6. 逻辑符号
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $\wedge$ | \wedge |
逻辑与（合取） |
| $\vee$ | \vee |
逻辑或（析取） |
| $\neg$ | \neg |
逻辑非（否定） |
| $\Rightarrow$ | \Rightarrow |
蕴含（如果…那么） |
| $\Leftrightarrow$ | \Leftrightarrow |
当且仅当 |
| $\forall$ | \forall |
对所有 |
| $\exists$ | \exists |
存在 |
| $\nexists$ | \nexists |
不存在 |
| $\top$ | \top |
逻辑真 |
| $\bot$ | \bot |
逻辑假 |
📦 7. 集合符号
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $\emptyset$ | \emptyset |
空集 |
| $\in$ | \in |
属于 |
| $\notin$ | \notin |
不属于 |
| $\subseteq$ | \subseteq |
子集 |
| $\subset$ | \subset |
真子集 |
| $\nsubseteq$ | \nsubseteq |
不是子集 |
| $\supset$ | \supset |
包含 |
| $\supseteq$ | \supseteq |
超集 |
| $\nsupseteq$ | \nsupseteq |
不是超集 |
| $\cup$ | \cup |
并集 |
| $\cap$ | \cap |
交集 |
| $\setminus$ | \setminus |
差集 |
| $\bigcup$ | \bigcup |
大并集 |
| $\bigcap$ | \bigcap |
大交集 |
↔️ 8. 箭头符号
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $\to$ | \to |
右箭头 |
| $\leftarrow$ | \leftarrow |
左箭头 |
| $\Rightarrow$ | \Rightarrow |
右蕴含箭头 |
| $\Leftarrow$ | \Leftarrow |
左蕴含箭头 |
| $\leftrightarrow$ | \leftrightarrow |
左右箭头 |
| $\Leftrightarrow$ | \Leftrightarrow |
双向蕴含箭头 |
| $\longrightarrow$ | \longrightarrow |
长右箭头 |
| $\longleftarrow$ | \longleftarrow |
长左箭头 |
| $\mapsto$ | \mapsto |
映射箭头 |
| $\longmapsto$ | \longmapsto |
长映射箭头 |
| $\uparrow$ | \uparrow |
向上箭头 |
| $\downarrow$ | \downarrow |
向下箭头 |
| $\updownarrow$ | \updownarrow |
上下箭头 |
| $\Uparrow$ | \Uparrow |
向上双箭头 |
| $\Downarrow$ | \Downarrow |
向下双箭头 |
| $\Updownarrow$ | \Updownarrow |
上下双箭头 |
🔢 9. 分数
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $\frac{a}{b}$ | \frac{a}{b} |
普通分数 |
| $\dfrac{a}{b}$ | \dfrac{a}{b} |
强制分数（适用于行内公式） |
| $\tfrac{a}{b}$ | \tfrac{a}{b} |
小型分数（适用于较小的公式） |
✔️ 10. 根式
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $\sqrt{x}$ | \sqrt{x} |
平方根 |
| $\sqrt[n]{x}$ | \sqrt[n]{x} |
n 次方根 |
📈 11. 指数与对数
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $a^b$ | a^b |
指数 |
| $e^x$ | e^x |
自然指数 |
| $\log x$ | \log x |
对数（默认底数为10） |
| $\ln x$ | \ln x |
自然对数（底数为 e） |
| $\log_a b$ | \log_a b |
底数 a 的对数 |
📉 12. 微分与导数
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $\frac{d}{dx} f(x)$ | \frac{d}{dx} f(x) |
一阶导数 |
| $\frac{d^2}{dx^2} f(x)$ | \frac{d^2}{dx^2} f(x) |
二阶导数 |
| $\frac{\partial f}{\partial x}$ | \frac{\partial f}{\partial x} |
偏导数 |
| $\nabla f$ | \nabla f |
梯度 |
| $\Delta f$ | \Delta f |
拉普拉斯算子 |
| $\dot{x}$ | \dot{x} |
一阶导数（牛顿记号） |
| $\ddot{x}$ | \ddot{x} |
二阶导数（牛顿记号） |
🔝 13. 极限
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $\lim_{x \to a} f(x)$ | \lim_{x \to a} f(x) |
极限 |
| $\lim_{x \to \infty} f(x)$ | \lim_{x \to \infty} f(x) |
无穷极限 |
∫ 14. 积分
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $\int f(x)dx$ | \int f(x)dx |
不定积分 |
| $\int_{a}^{b} f(x)dx$ | \int_{a}^{b} f(x)dx |
定积分 |
| $\iint f(x,y)dxdy$ | \iint f(x,y)dxdy |
二重积分 |
| $\iiint f(x,y,z)dxdydz$ | \iiint f(x,y,z)dxdydz |
三重积分 |
✍️ 15. 矩阵
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $\begin{bmatrix} a & b \ c & d \end{bmatrix}$ | \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} |
方括号矩阵 |
| $\begin{pmatrix} a & b \ c & d \end{pmatrix}$ | \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} |
圆括号矩阵 |
| $\begin{vmatrix} a & b \ c & d \end{vmatrix}$ | \begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix} |
行列式 |
| $\begin{Vmatrix} a & b \ c & d \end{Vmatrix}$ | \begin{Vmatrix} a & b \\ c & d \end{Vmatrix} |
双竖线矩阵 |
| $\begin{matrix} a & b \ c & d \end{matrix}$ | \begin{matrix} a & b \\ c & d \end{matrix} |
无括号矩阵 |
➡️ 16. 向量
16.1 向量的加粗表示
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $\mathbf{v}$ | \mathbf{v} |
向量，适用于字母 |
| $\mathbf{v}$ | \bm{v} |
加粗向量（适用于所有数学符号，需 \usepackage{bm}） |
| $\boldsymbol{\alpha}$ | \boldsymbol{\alpha} |
加粗希腊字母（适用于 \alpha, \beta 等） |
16.2. 向量的箭头表示
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $\vec{v}$ | \vec{v} |
向量符号，表示带箭头的向量 |
| $\overrightarrow{AB}$ | \overrightarrow{AB} |
表示从 A 指向 B 的向量 |
| $\overleftarrow{AB}$ | \overleftarrow{AB} |
表示从 B 指向 A 的向量 |
16.3 单位向量
单位向量表示方向向量，通常用 加帽符号：
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $\hat{v}$ | \hat{v} |
单位向量 |
| $\hat{i}, \hat{j}, \hat{k}$ | \hat{i}, \hat{j}, \hat{k} |
直角坐标系中的标准基向量 |
16.4 向量的点积与叉积
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}$ | \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} |
向量的点积 |
| $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ | \mathbf{a} \times \mathbf{b} |
向量的叉积 |
🔄 17. 方程与方程组
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $\begin{align} x + y &= 2 \ x - y &= 0 \end{align}$ | \begin{align} x + y &= 2 \\ x - y &= 0 \end{align} |
对齐的方程组 |
| $\begin{cases} ax + by = c \ dx + ey = f \end{cases}$ | \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases} |
分段定义或方程组 |
✏️ 18. 空格与换行
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $a\ b$ | a\ b |
小空格 |
| $a\quad b$ | a\quad b |
大空格 |
| $a\qquad b$ | a\qquad b |
超大空格 |
| $a\ b$ | a\\ b |
换行 |
| $a,b$ | a\,b |
细小空格 |
| $a!b$ | a\!b |
负空格（缩小间距） |
| $\text{This is a~test.}$ | \text{This is a~test.} |
硬空格 |
🎨 19. 颜色
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $\textcolor{red}{text}$ | \textcolor{red}{text} |
颜色（红色） |
| $\textcolor{blue}{text}$ | \textcolor{blue}{text} |
颜色（蓝色） |
| $\color{green}text$ | \color{green}text |
颜色（绿色） |
🖍️ 20. 字体
| 符号 | LaTeX 代码 | 中文说明 |
|---|---|---|
| $\mathbf{x}$ | \mathbf{x} |
加粗 |
| $\mathit{x}$ | \mathit{x} |
斜体 |
| $\mathcal{L}$ | \mathcal{L} |
手写体 |
| $\mathbb{R}$ | \mathbb{R} |
黑板体（常用于数集） |
| $\mathrm{x}$ | \mathrm{x} |
直立体 |
| $\mathtt{x}$ | \mathtt{x} |
打字机字体 |
| $\mathscr{L}$ | \mathscr{L} |
花体（数学符号） |
💎完整示例
🌊 1. 线性代数
1.1 矩阵乘法
给定两个矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 和 $B \in \mathbb{R}^{n \times p}$，它们的矩阵乘法定义如下：
$$
C = AB, \quad C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}, \quad C \in \mathbb{R}^{m \times p}
$$
$$ C = AB, \quad C_{ij} = \sum_{k=1}^{n} A_{ik} B_{kj}, \quad C \in \mathbb{R}^{m \times p} $$
说明：矩阵 $C$ 的元素 $C_{ij}$ 由矩阵 $A$ 的第 $i$ 行与矩阵 $B$ 的第 $j$ 列按对应元素相乘后求和得到。
1.2 特征值与特征向量
对于方阵 $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$，如果存在非零向量 $\bm{v}$ 和标量 $\lambda$ 使得：
$$
A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v}
$$
则称 $\lambda$ 为矩阵 $A$ 的特征值，$\mathbf{v}$ 为对应的特征向量。
$$ A\mathbf{v} = \lambda \mathbf{v} $$
说明：当矩阵 $A$ 作用于向量 $\mathbf{v}$ 上时，$\mathbf{v}$ 仅仅被缩放（即乘以特征值 $\lambda$），方向不变。
1.3 奇异值分解（SVD）
任意矩阵 $A \in \mathbb{R}^{m \times n}$ 可分解为：
$$
A = U \Sigma V^T
$$
其中：
- $U \in \mathbb{R}^{m \times m}$ 是正交矩阵，
- $V \in \mathbb{R}^{n \times n}$ 是正交矩阵，
- $\Sigma$ 是对角矩阵，包含奇异值 $\sigma_i$。
$$ A = U \Sigma V^T $$
说明：奇异值分解（SVD）是一种强大的矩阵分解方法，广泛用于降维、压缩、信号处理等。
🎲 2. 概率统计
2.1 贝叶斯定理
对于事件 $A$ 和 $B$，如果 $P(B) > 0$，则贝叶斯定理表示为：
$$
P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)}
$$
$$ P(A \mid B) = \frac{P(B \mid A) P(A)}{P(B)} $$
说明：贝叶斯定理是概率论中最重要的公式之一，广泛用于机器学习、医学诊断、自然语言处理等领域。
2.2 期望与方差
2.2.1 期望
设随机变量 $X$ 服从概率分布 $P(X)$，则：
$$
\mathbb{E}[X] = \sum_{x} x P(X = x)
$$
$$ \mathbb{E}[X] = \sum_{x} x P(X = x) $$
说明：数学期望表示随机变量 $X$ 的加权平均值，即它的平均趋势。
2.2.2 方差
随机变量 $X$ 的方差定义为：
$$
\mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2]
$$
$$ \mathrm{Var}(X) = \mathbb{E}[(X - \mathbb{E}[X])^2] $$
说明：方差度量了随机变量 $X$ 偏离均值的程度，方差越大，数据的离散性越强。
2.3 高斯分布（正态分布）
随机变量 $X$ 服从均值 $\mu$，方差 $\sigma^2$ 的高斯分布（正态分布），其概率密度函数（PDF）为：
$$
p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right)
$$
$$ p(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi \sigma^2}} \exp \left(-\frac{(x - \mu)^2}{2\sigma^2} \right) $$
说明：高斯分布是最重要的概率分布之一，在自然科学、工程、机器学习等领域中应用广泛。
🤖 3. 机器学习
3.1 线性回归模型
在线性回归模型中，如果试图找到一个线性函数来拟合数据点 $(x_i, y_i)$，那么数学表达式如下：
$$
y = w^T x + b
$$
$$ y = w^T x + b $$
使用最小二乘法（OLS）来估计参数 $w$，会用到最小化均方误差（MSE）：
$$
L(w, b) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - (w^T x_i + b))^2
$$
$$ L(w, b) = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (y_i - (w^T x_i + b))^2 $$
说明：线性回归是机器学习最基础的回归模型，在统计建模、预测分析等领域广泛应用。
3.2 Kullback-Leibler (KL) 散度
KL 散度用于衡量两个概率分布 $P(x)$ 和 $Q(x)$ 之间的差异，定义如下：
$$
D_{KL}(P \parallel Q) = \sum_x P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)}
$$
$$ D_{KL}(P \parallel Q) = \sum_x P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)} $$
或者对于连续概率分布：
$$
D_{KL}(P \parallel Q) = \int P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)} dx
$$
$$ D_{KL}(P \parallel Q) = \int P(x) \log \frac{P(x)}{Q(x)} dx $$
说明：KL 散度用于衡量两个概率分布之间的相对熵，在信息论、概率统计、机器学习等领域中应用广泛。